各位同学大家好，我是海天考研的数学老师王立鹏。今天我们大家参加完了2019的考研数学的考试，那么我们在第一时间拿到了真题，那么我现在为大家做一个专门的真题解析，同时对我们20考研的同学加以一个寄语，这是我们今天要讲的主要内容。那么我们讲座的内容就是分数一、数二、数三的次序来讲，首先来说一下数一同学的咱们的题目。

　　数一的同学大家今年考完之后，大家可以发现咱们的考题中，数一单独的知识点今年考的非常多。大家可以看一下，在我们的第四题中，它考了第二类曲线积分。在我们的第六题中，它考了平面和直线。在我们的第十二题中，它又考了第二类曲面积分。在我们的第十六题中，它又考了方向导数和梯度的概念，以及还有像我们的形心和质心的问题，但型心的问题可以说数一、数二都可以要求。

　　那么这篇卷子里面数一的内容怎么样，相对来说还是比较多的。以前考知识点的时候，没有考过这么多的，所以告诉我们数一的同学，我们单独考的知识点大家要引起重视。很多同学在学习的时候往往说学习内容是数一、数二和数三，怎么整个内容是一样的。而这个时候，把自己的一些专有内容丢了，这是对数一同学很大不利的地方，要求数一同学要对自己的内容单独的去加强一下，我觉得这点是非常重要，对数一同学，我们这篇试卷你看到它的一个特点。以往往往不会有那么多题，而这篇试卷中的题目比较多。

　　那么再说说它总体的难度，就是我们考研的这篇卷子难度，我觉得总体的难度并不大，它只是说了一些简单的题目，知识点考察的比较浅显，但是考察的知识点比较多，往往在于让大家在我们的计算上去出了一些文章，这样的话难度相当于说下降了，但是计算度提高了。很多同学今天跟我反映了一个问题是说，题目的思路是有的，但是结果往往算不完，或者说结果算不出来，这个事对大家来说是比较不利的。

　　那么这个方法就要求大家在平时的时候要多下功夫，尤其很多同学在我们上课的时候，或者在我们大班课、小班课的辅导过程中，很多同学习惯于什么，就是只听老师讲，他不习惯于自己去学。这个事就是说不自己去练，你有了思路，数学上的事不仅仅是你有了思路，你把这个东西听懂了就行了，而且它还要求你把题给我们算出来，要求把结果算的是正确的。如果你结果算不对，依然是没有分数的，这点我觉得是非常关键的一个事，很多同学有思路，没有结果，那不还是没分。虽然说大题会有一些分，而小题分数并不多。这点我觉得大家要引起重视，就是在计算的问题上，很多同学计算还是出现问题。

　　那么再有大家看一下知识点，比如说在这卷子第五题上，它考了一个特征值，特征向量的概念，同时它又考了一个二次型的规范形的概念。实际上特征值、特征向量的概念，对我们大家复习来说，很多东西你都知道这个特征值、特征向量，没有问题。但是它考了一个规范形，因为我们大家在做一般练习的时候，求的都是标准形，你要知道规范形的概念是什么。我们在给冲刺班、押题班的时候，也给大家说过了这件事，很多同学没引起重视。实际上这个题考大家一个什么，最基本的概念，什么叫做规范形，规范形就是说我们这个平方的系数只能有1、-1和0这样几个数。而其他同学没有看到这样一个概念，往往就不会做。这样的题我觉得就是考概念，考基本的基础知识的题。我们数一的同学在这点上有很多问题，或者说很多同学，当然不仅仅是数一，数二、数三也会存在这样的问题，基本概念你不清楚，如果基本概念你不知道，这类题是做不了的。

　　再有就是我们刚才说过了，考研的知识点它往往是多个知识点相结合的一种题目，我们把知识点结合起来。比如说你看这里的第二题，第二题它给了我们一个分段函数，让我们求在分段点处是否可导，并且在分段点处是否曲直极值的问题。实际上这个事就是把两个知识点，一个是左导数、右导数，可导的问题。还有，在这个点是否取极值的问题，结合起来，这儿就是我们讲的一个综合题。

　　再比如说你看这个综合性第六题上，第六题的综合题它在于把空间解析几何，我们平面、直线，还有线性代数方程解的题联系到一起了。它这道题给我们是这样三个平面，每两个平面都有一条交线，实际上这个代表什么，方程组是无解的，方程组是无解的前提下，首先就应该知道了，这是线性方程组，系数矩阵制和增广矩阵秩不相等的情形，不相等怎么样，那它就无解。

　　而且还应该知道，任何两个平面有一条交线，那么证明秩的质应该是几，也就是有一个自由未知量，我们的方程是三个未知数，那它应该有一个自由未知量的话，那么秩应该是2。任意两个方程都有解的话，那么总秩也应该是2。那么这个就是说了，系数矩阵秩是2的时候，那么增广矩阵秩一定是3，这儿是不相等的，所以这题就是这样来考我们。这种题它往往有一种综合性的问题。

　　再比如说我们来看一下第十六题，十六题这个题它讲的是给了我们一个函数，Z=2+ax平方+by，在三四点处的方向导数，沿着方向-3i-4j的方向导数最大，而且最大值是10。像这个题考的什么，有同学说在考方向导数，没错。但实际上它也考了梯度的概念，而且就问大家了，这个方向导数在哪一个方向上取得最大值，应该在梯度上，与梯度方向相同的时候，它应该取得的是最大值。那么它在考这个概念，实际上就把这两个概念结合起来了。

　　以前在咱们考研的题目中，往往是一种单纯的题，要么考方向导数，要么考梯度，难度相对来说小一点。现在考研出题的思路就在于把多个题目结合到一个题目里来出，看看大家能不能把这样的思路结合出来，或者说把这样的思路想出来，我觉得这点对于我们来说非常关键。知识不要学的过死，或者说过于单调，就是说我只会这一个知识，我把两个知识、三个知识拿到一起来解题你还会吗，如果你不会，这考研题就做不了。但是考研题还是会有一定的灵活性。这是第十六题的特点。

　　当然下面我们还要再说几个具有典型特点的题，比如说这里的第十五题，十五题它是这样的，它说y一撇，加上xy，等于e负2x平方，让我们去解这个叫做一阶线性微分方程。解这个方程的话，对我们大家来说，这个事怎么办，有很多同学直接想到了一阶线性微分方程，有很多同学直接去套一阶线性微分方程的公式去求解，可以不可以，可以，没有任何问题。因为一阶线性微分方程的公式是什么，就是我们写的e负px的积分，然后是括号，qx epx积分再积分，再加个c，这个事我们就把它搞定了，你说可以不可以，可以，但是速度偏慢。

　　这种题我们在讲课的时候，咱们在基础班，强化班，押题班的时候，都给大家说过了，一定要主要什么，我们说这个乘法公式你是不是会应该倒用。比如说我们大家看到了什么，y一撇加xy，你应该能不能想到u撇v+ua撇这个公式，或者能不能想到这个想法，我觉得这个想法是最重要。如果你有了这个想法，我们把这个e负2x平方，两边同时乘以e二分之x平方，那这个时候恰好就把乘法公式倒着弄出来了。如果你把这个事倒着弄出来，那这个题怎么样，相当的简单，我们这儿就变成了e二分之x平方乘以个y，括号的导数等于1了，两边一积分，这个题多简单。我觉得你要用公式法可能五分钟，而如果你要是会这种快速的想法，我们算题会非常的快，我觉得这种东西是要求大家能够想到。

　　这个题也给我们大家一个启示，就是我们在想数学公式的时候，你是不是要会倒着想，我觉得这个倒着想是很多同学所欠缺的。我们的数学公式也要求大家要倒着背，不能正着背，正着背没有什么质量，你要会倒着背的话，你的质量就会增加，或者是加强，加强很多，这个是要求大家能够想到的一个方法，或者想到的一个特点，我觉得是非常好的一个题，这样的一个想法。

　　那么我们大家再来看，这份卷子上，数一的第十九题，当时数一卷子上十九题也是整个卷子里面最难的一个题。这个题大家首先看到了什么，我们给大家押题班的时候也说过，这个数列的极限是怎么样，必考的，必考一个数列的极限，这儿不就是一个数列极限的问题吗。当然它给我们第一问，就是说an告诉我们是0-1，xn根号下1-x平方dx，这种题。当然这个题数列是按照什么来给的，是按照定积分来给，所以我们见到定积分的话，第一个感觉是想什么，我觉得见到定积分的第一个感觉是要想到换元法，把它想成sint，就是x等于sint，我把sint给它换出来，换出x。那么这个题它就可以出现0的二分之派，sinxn次cosx平方dt。

　　换出来之后，那么很多想法没有想法了，实际上我觉得这个想法很简单，你能不能想到华里士公式，这就是我们在基础班、强化班反复给大家强调的一个事。如果你要知道华里士公式，马上用华里士公式就把结果带出来了。这儿是让大家看题应该有感觉，而且我告诉大家，咱们在做题的时候，你不能因题而做题，你一定要明白我们整个想法。有很多同学会背这个华里士公式，但是你用不出来。我们在算这种题的时候，你做一个还原法之后想到了华里士公式，我觉得这是最关键的，那你这个题就迎刃而解了。

　　比如你说求递推公式，那么我们就根据它的写法，自然把这个an，这个sinxn次p的华里士公式，和sinx的n+2次p的华里士公式，写出来两个一减，这个递推公式就写出来了，一点难度都没有，这是非常简单的一种想法或者一种思路。当然有同学说这相当于一种递推关系的这种题，很多同学是很头疼的。我们告诉他，你就按照这种华里士公式，已知的结果去做，你不从已知的结果上去走，这种题的难度还是相对来说要大一些的。这个题难度比较大一点，但是数列的东西，数列的东西本来就要难一些。

　　那么最后再说一下这个十七题，十七题这个题它也是一个难度相对来说要大一点的题目。你看，十七题这个题它在考的是这个e负xsinx它所围成的面积的问题，和x轴所围成的面积问题，是从0到正无穷。那么这个首先很多同学你们能不能有想法，图形是什么样子的。像这个图形基本上就是说和赛x图像是一样的，但是e负x它是在逐渐减小的一个过程，比如它的振幅在逐渐的减少，赛x在逐渐减小的像一个波浪线，逐渐减小，波浪越来越小，越来越小，但是它和x轴所围成的面积还是有正有负的。

　　现在人家在问我们什么，人家在问我们和x轴所围成图形的面积是多少，这个面积怎么办，或者说我们怎么算，怎么想。这个面积我们告诉大家，你要加绝对值就可以了，实际上这个加上绝对值之后，就是都变成了我们要求的面积，有正有负。但是加上绝对值，你先把表达式列出来，但是你在计算的时候要怎么办，你要想办法把这个绝对值给它弄掉，或者把这个绝对值给它取消掉，实际上取消掉这时候要用到周期函数性。我们用周期函数性才能把这个绝对值是赛x给它去掉。

　　当然我们现在想把它变成什么，都要变成0到派，或者正的范围内的取值，你要不这个事特别的难处理，这就是我们的想法。当你把它都表示出来之后，它又变成了一个级数的题目，极数，求和，你看你会不会写，这是一个对极数求和的问题了最终，因为你这个从0到正无穷的一个振荡，它整个周期是一个无限的曲线，那么就属于无穷极数求和。无穷极数求和总的想法那就是要用到等比数类求和，我们在基础班的时候反复在讲，等比数类求和，是不你要凑出这个东西来，没有去凑，凑出来用加和的思想，用首项比上一减公比，就能把这个题解决出来。

　　整个这篇卷子中，大家发现，这两个题是难度最大的两个题。那么我们同学来看，概率在整个的这篇试卷中基本上没有任何的难题，完全是中规中矩的简单题目，每一个题都没有什么任何的变化。你看比如说咱们的选择题，选择题第一个题就考了一个减法公式，说白了就考了一个减法公式。而选择题第八题它又考了个正态的东西，当然我们上课的时候也说过，凡是正态的东西一定要变成标准正态，这是我们要去处理的事。

　　当然十四题稍微的有那么一点点的麻烦，它说就是求这个随机变量，求一个概率，求概率你可以求出分布函数来，再求出它的期望来，然后求它的概率，这个事没有什么特别大的难度。而我们现在这里边主要是什么问题，就是要求大家能够把这个事表述出来。当然这个题当然有一个简单的，如果随机变量是连续型的随机变量，那么它的分布函数一定服从0-1上的均匀分布，这是一个巧妙的做法。这种巧妙的做法，我觉得在考研的时候往往出了一年之后，可能n年之后再出了，这种方法我倒不是特别建议大家去掌握。掌握最基本的方法，求概率是什么，求概率就是求密度函数的积分，我对密度函数进行积分，这个事是我希望大家能掌握好的。

　　当然你再来看，二十二题和二十三题今年概率的题，非常简单，和前两年的题基本上是一样的。考一个什么，概率的题基本考两个类型，一个是随机变量函数的分布，另外一个就是我们讲的极大似然估计，或者据估计的题，你看它不出我们的例外，还是讲了一个极大似然估计，还有一个随机变量函数的。去年考了两个离散的，今年考了一个离散，一个连续，当然我们在讲课的时候都给大家讲过。一个离散，一个连续做什么，当然要用分步法，用定义法来做。而且它还要用到全概公式，你只要会用到全概公式的思想，这类题就解决掉了。

　　再有它最后还问了两问，这个x与z是否独立，xy是否不相关，实际上不相关就在考协方差。这里顺便还告诉大家有一个非常好笑的技巧，凡是考研的题目，它要问是否独立，你答什么，不独立，这是一定的，90%或者99%这题都不独立。那怎么办，不独立的话你就想办法找出两个特例点，然后让它不满足独立的性质就ok。当然是一个中规中矩的方法，没有任何的改变，所以这题我都不想讲了。

　　那么我对数一同学的题目就给大家分析完了，大家可以看到，数一同学咱们简单地说说，今年考的知识点比较宽泛，而且基本上所有的知识点都涉及到了。它计算量也不小，计算量很多同学是没算完那篇试卷的。再有，它对数一的基础知识考的也比较多，你只要基础知识掌握的好，分数还应该不会太低的，应该比去年的分数要高得多，高十几分左右。

　　再有就是，我们这个数一同学，你们要对自己单独的知识，比如说我们讲的三种积分，曲线积分，曲面积分，这些东西是不要了解。还有我们讲的空间解析几何，曲线曲面，平面直线，还有我们说的曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，还有我们讲的方向导数、梯度，这些事是不是都应该单独的来考虑考虑，这是我们数一同学大家应该着重去掌握的东西。当然这些东西我觉得对谁最有用，这是对我们20同学最有用的东西，我们20同学你们是不应该在这些方向上去做自己的努力，把自己该努力的内容多努力，把这个事才能做完，这样比较好。

　　下面我再来说说数二同学的试卷，数二同学的试卷大家都知道，我们数二同学没有概率，你没有概率你多高数，你比数一、数三的同学少了五个概率题，你多了五个高数题，所以数二的同学对高数的要求会更高。但是数二同学的这篇试卷的题目相对来说也是难度并不大，但是它的题目的特点相对来说要简单一些，它也是相对来说要简单一点。

　　那么咱们先单独说说数二的这些特点，它有什么样的特点。你看我们数二同学里面，在每年考研里面，基本上可以说有两个知识点是必考的。一个就是我们讲的参数方程求导，因为参数方程求导实际上应该是数一数二同学来考的。但是，往往参数方程求导就成了数二同学你们必考内容，这是在我们这篇卷子中的第十题，它求了在某一个点处的切线在y轴上的截距。好了，没什么特点，你只要会求参数方程求导，求出导数来，求出它的斜率来，然后写它的切线方程，然后再求截距，你说这题有什么难度。但是这类题属于数二同学的一个经典例题，每年基本上都必考，参数方程求导。当然数一同学只是偶然考一下的东西，但是数二同学绝对是我们的重点内容。

　　再有一个，就是我们数二同学非常喜欢考的，就是一个曲率的问题，就是咱们这篇试卷中的第六题，两个点，但是曲率不能说每年数二都考，但是也是比较喜欢考，最喜欢考的就是刚才咱们讲的参数方程求导，再有就是这个曲率。曲率这个题是说fx和gx它们的曲率，比如在某一点处曲率是相等的，这句话意味着什么，这句话意味着是我们说的点是重合的，切线，就是二阶导数是相等的，但它告诉我们相切于这个点，它说的这个切线，一阶导数也应该是相等，这题你就理解成这三点我觉得就OK了。当然这样的点对我们来说也是知识点的组合问题，数二同学我们考试的时候是不是也要把多个知识点综合到一个题目里面去。

　　数二同学其他的题目，它多了一个像我们说的极限的计算，就是1的无穷次幂的一个极限的计算，还有像参数方程一个倒求的问题，求参数方程的解。再比如说还有二重积分，二重积分的性质。因为我们数二同学你少了一些概率的事，所以它这里面又多出了一个二重积分的比较大小。而这个题咱们在押题的时候也给大家说过了，这是谁，这不就是去年题目的延续吗，去年我们考了定积分比较大小，今年它就考了二重积分比较大小。

　　那么在数二同学这篇卷子里面，它有一个十三题，当然十三同学也有这个题，咱们顺便一起说了。出了一个什么问题，就是变现积分的积分，变现积分积分这件事怎么做。咱们在前面的时候也给大家讲过，两个思路，变现积分的积分要么是做分布积分，要么是做二重积分的换序这样的一个问题。

　　那么数二同学其他的题目都是比较中规中矩的题目，但是实际上我们给大家讲过，凡是数二同学咱们考研的时候一定会有一个二重积分的计算，二重积分的计算必考，所以十八题也考了二重积分的计算。二重积分计算当然我们首先要考虑它的奇偶性还有轮换对称性这样一个特点。这个事也是我们在二重积分里面，对数二的同学必考的。

　　我觉得数二同学咱们应该抓住咱们的几个必考的知识点，你看我可以给大家简单地总结一下，就是参数方程。这个曲率，这两个事非常关键。再有就是求极限，求二重积分，这样的题对我们来说也是必考的。剩下问题，当然今年又考了，在数二里面又考了定积分，这个事不一定，但是它也是经常考。

　　最后咱们再说说线代，实际上现代的题目对于数一、数二、数三的同学基本上是一样。现代的题目它就考了两个最基本的问题，一个就是线性表出，项量组的线性表出问题，相互的表述。还有就是相似对角化的问题，这也是我们在考研时两个经典的题目，这样数一、数二、数三的题目基本上是一样的。

　　数二同学的特点，咱们最后再说一下，数二同学我们在做考研试卷，或者我们在准备的时候，应该多准备高数，因为你们高数知识点非常多，非常的喜欢考，我们把高数的题目着重，现在实际上就是五个题，和其他同学的要求是一样。今年的试卷总体我觉得也应该是比去年的分值要高一点，去年的分值应该相对来说要难一点的。

　　最后咱们再来说说数三同学的习题，当然数三同学的题目总体难度要比数一和数二都要更简单一点。但是我们还是先说一下它的独有的题，数三同学独有什么题，数三同学你们不外乎一个就是我们说的经济学的应用，你看比如说今年的第十二题，它给了商品的价格，还有需求函数，让我们求价格对需求的弹性，这样的一个题不就是最简单的题吗，它有什么特别大的难度吗，我觉得并没有。就是我们讲课时讲的弹性的概念，你求出这个导数来，实际上就是导数的相比，并没有什么过为复杂的内容。

　　像数三同学咱的就是经济学的单独的应用，当然还有一个应用应该是差分方程，去年考了，前年考了，今年它没考差分方程，但是今年它依然考了经济学这东西，这是咱们数三同学单独考的东西。

　　但是数三同学的难度相对来说在级数上它会做一做文章，因为数三同学咱们没有数一单独那部分内容，就是曲线积分，曲面积分这些事，所以数三同学喜欢在极数上可以做点文章。比如说我们今年的第四题，这个第四题考了一个绝对收敛和条件收敛的问题，而且是一道比较精彩的题。它的了比如说n倍的un是绝对收敛的，n分之vn是条件收敛的，实际我们大家很容易想到它们相乘，相乘的话实际上是vn是条件收敛，它的通向的极限应该趋于0，所以它应该相对是一个有界的。而un是收敛的，我们用这个大收小收的思想一乘，结果un和vn也应该是绝对收敛，这个题出的质量也比较高，大家要有这样的一个想法。

　　还有第二题就是相当于是一个图像法的思想，数三同学喜欢让你们画画函数的图像，用图像的思想来进行求解。而且数三的同学我们也会有多元的微分学，就是复合函数求导，这个思想在我们里面也应该是出现的，这也是一个比较简单的思想，我觉得很多同学是应该会去处理这样的问题。当然概率的题目我就不再列举了，概率的题目我们数三的同学和数一的同学基本上出题是一样的题，在每年考研中，不一样的前提下很少很少，基本上是完全重复的题目，所以我这儿就不再单独的给数三同学再总结概率了。

　　那么这样我们就把数一、数二、数三的内容给大家讲完了。下面我对20级的考生进行一个简单的复习规划，或者是复习要求，我们所说的一些事。我们对20级的考生，现在我觉得应该开始了，如果你不开始的话，稍微的就要晚一些了，或者慢一些了。尤其我们可以利用到今年的寒假时间，咱们可以开始我们准备考研的一个复习过程了，全程开始了。我们从今年的寒假开始，是不就要着重的去复习一下高数。你看我们刚才给大家分析试卷的时候也说出来了，高数在整篇试卷中怎么样，最为重要，非常关键，所以大家一定要把高数弄好。高数能够让我们在整个试卷中分值或高或低，所以必须要把高数弄好了，高数的题目大家一定要掌握好。

　　那么咱们复习高数的话，我觉得从进今年的寒假开始，一直到明年2019年的4月份，或者是5月份，我们一定要把高数复习完。咱们复习高数的时候，大家可以看一下我们出的一些相应的辅导书，还有教材，都可以。这阶段告诉大家了，一定要多看书，多练习。你发现今天的题目，咱们今年整个考研的题目中，很多题目很多同学有思路，算不出结果为什么，就因为平时不练，而要求大家平时要练，要写，把自己的功夫花在平时。我们把基本概念，基础知识，按照我们所给大家的这些考研大纲来进行复习相应的知识。而我们在5月份和6月份大家可以去复习一下现代和概率，也是要多练和多写。

　　平时多下功夫，我们在考研的时候才能取得好成绩。祝2019级考生能考出好成绩，我们20级的考生应该自己多加努力，争取在明年的时候也应该考出一个好成绩，谢谢大家，今天我们就讲到这儿。